案例：贝叶斯定理在医疗行业的应用

每一个医学检测，都存在假阳性率和假阴性率。假阳性，就是没病，但是检测结果显示有病。假阴性正好相反，有病但是检测结果正常。
即使检测准确率是99%，如果医生完全依赖检测结果，也会误诊。也就是说假阳性的情况，根据检测结果显示有病，但是你实际并没有得病。
举个更具体的例子，因为艾滋病潜伏期很长，所以即便感染了也可能在很长的一段时间，身体没有任何感觉，所以艾滋病检测的假阳性会导致被测人非常大的心理压力。
你可能会觉得，检测准确率都99%了，误测几乎可以忽略不计了吧？所以你觉得这人肯定没有患艾滋病了对不对？
让我们用贝叶斯定理算一下，就会发现你的直觉是错误的。
假设某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现在有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。
现在有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？
好了，我知道你面对这一大推信息又头大了，我也是。但是我们不是有贝叶斯模板套路嘛，下面开始。

第1步，分解问题
1）要求解的问题：病人的检验结果为阳性，他确实得病的概率有多大？
病人的检验结果为阳性（新的信息）记为事件B，他得病记为事件A，
那么要求的问题就是P(A|B)，也就是病人的检验结果为阳性（B），他确实得病的概率(A)
2）已知信息
这种疾病的发病率是0.001，即P(A)=0.001
试剂可以检验患者是否得病，准确率是0.99，也就是在患者确实得病的情况下(A)，它有99%的可能呈现阳性(B)，所以P(B|A)=0.99
试剂的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。得病我们记为事件A，那么没有得病就是事件A的反面，记为A'，所以这句话就可以表示为P(B|A')=5%
第2步，应用贝叶斯定理
1）求先验概率
疾病的发病率是0.001，即P(A)=0.001
2）求可能性函数
P(B|A)/P(B)
其中，P(B|A)表示在患者确实得病的情况下(A)，试剂呈现阳性的概率，从前面的已知条件中我们已经知道P(B|A)=0.99
现在只有求出P(B)就可以得到答案。根据全概率公式，可以用下图求得P(B)=0.0509
所以可能性函数P(B|A)/P(B)=0.99/0.05094=19.4346
3）带入贝叶斯公式求后验概率
我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)等于1.94%。
也就是说，筛查的准确率都到了99%了，通过体检结果有病（阳性）确实得病的概率也只有1.94%
你可能会说，再也不相信那些吹的天花乱坠的技术了，说好了筛查准确率那么高，结果筛查的结果对于确诊疾病一点用都没有，这还要医学技术干什么？
没错，这就是贝叶斯分析告诉我们的。我们拿艾滋病来说，由于发艾滋病实在是小概率事件，所以当我们对一大群人做艾滋病筛查时，虽说准确率有99%，但仍然会有相当一部分人因为误测而被诊断为艾滋病，这一部分人在人群中的数目甚至比真正艾滋病患者的数目还要高。
你肯定要问了，那该怎样纠正测量带来这么高的误诊呢？
造成这么不靠谱的误诊的原因，是无差别地给一大群人做筛查，而不论测量准确率有多高，因为正常人的数目远大于实际的患者，所以误测造成的干扰就非常大了。
根据贝叶斯定理，我们知道提高先验概率，可以有效的提高后验概率。
所以解决的办法倒也很简单，就是先锁定可疑的人群，比如10000人中检查出现问题的那10个人，再独立重复检测一次。因为正常人连续两次体检都出现误测的概率极低，这时筛选出真正患者的准确率就很高了，这也是为什么许多疾病的检测，往往还要送交独立机构多次检查的原因。
这也是为什么艾滋病检测第一次呈阳性的人，还需要做第二次检测，第二次依然是阳性的还需要送交国家实验室做第三次检测。