贝叶斯公式的证明过程

在全概率空间内选取两个事件A和B，我们把它们发生的概率分别记作P(A)和 P(B)，把A和B都发生的概率记作 P(A交集B)。另外，我们把诸如“B发生的情况下A发生的概率”这种概率称为条件概率，记作P(A|B) 。显然，如下等式是成立的，
P(A∩B)=P(A|B)*P(B)
另外，“A发生的情况下B发生的概率”当然也是一个条件概率，记作 P(B|A)，显然有
P(A∩B)=P(B|A)*P(A)
由等式（1）和（2），我们就得到了
P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)，也就是
007.png
这就是对大名鼎鼎的贝叶斯公式的推导，看起来很简单吧，接下来，我们举一个例子来加深一下理解

应用举例

比如一间房屋在过去1年共发生过3次被盗事件；房屋有一条狗，狗平均每天晚上叫1次；若假设在盗贼入侵时狗叫的概率为0.9，则狗叫时发生盗贼入侵的概率是多少？
按照事件概率的形式描述如下：
P(A)：狗每天叫的事件概率为 1；
P(B)：盗贼入侵事件的概率为 3/365 ≈ 0.008；
P(A|B)：盗贼入侵时狗叫的概率为 0.9。
P(B|A)：狗叫时盗贼入侵的概率？
007.png
根据贝叶斯公式，即可求得：
P(B|A) = 0.9 * 0.008 / 1 = 0.0072
现在，我总结下刚才的贝叶斯定理应用的套路，你就更清楚了，会发现像小学生做应用题一样简单：
第1步. 分解问题
简单来说就像做应用题的感觉，先列出解决这个问题所需要的一些条件，然后记清楚哪些是已知的，哪些是未知的。
1）要求解的问题是什么？
识别出哪个是贝叶斯中的事件A（一般是想要知道的问题），哪个是事件B（一般是新的信息，或者实验结果）
2）已知条件是什么？
第2步.应用贝叶斯定理
第3步，求贝叶斯公式中的2个指标
1）求先验概率
2）求可能性函数
3）带入贝叶斯公式求后验概率