先验概率和后验概率

通过上面几节的学习，我们知道贝叶斯公式长这样：
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其中： P(A)是先验概率（prior probability），P(B|A)是条件概率（conditional probability），P(A|B)是后验概率（posterior probability）。P(A∩B)是联合概率（joint probability），通常写成P(A,B)。
贝叶斯公式其根本思想是【后验概率 = 先验概率 * 调整因子】，其中【先验概率】就是在信息不完整情况下做出的主观概率预测；【调整因子】则是在信息收集不断完善的过程中对先验概率的调整；【后验概率】则是经过调整后最终作出的概率预测。
那我们不禁想问，什么是先验概率，后验概率以及调整因子呢？
我们通过一个简单的问题一起来了解一下这些名词
朋友小鹿说，他的女神每次看到他的时候都冲他笑，他现在想知道女神是不是喜欢他呢？
谁让我学过统计概率知识呢，下面我们一起用贝叶斯帮小鹿预测下女神喜欢他的概率有多大，这样小鹿就可以根据概率的大小来决定是否要表白女神。

表白女神Yes or No？

首先，我分析了给定的已知信息和未知信息：
1）要求解的问题：女神喜欢你，记为A事件
2）已知条件：女神经常冲你笑，记为B事件
所以，P(A|B)表示女神经常冲你笑这个事件(B)发生后，女神喜欢你（A）的概率。
1）先验概率
我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），也就是在不知道B事件的前提下，我们对A事件概率的一个主观判断。
对应这个例子里就是在不知道女神经常对你笑的前提下，来主观判断出女神喜欢一个人的概率。这里我们假设是50%，也就是不喜欢你，可能不喜欢你的概率都是一半。
2）可能性函数
P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，也就是新信息B带来的调整，作用是将先验概率（之前的主观判断）调整到更接近真实概率。
可能性函数你可以理解为新信息过来后，对先验概率的一个调整。比如我们刚开始看到“人工智能”这个信息，你有自己的理解（先验概率-主观判断），但是当你学习了一些数据分析，或者看了些这方面的书后（新的信息），然后你根据掌握的最新信息优化了自己之前的理解（可能性函数-调整因子），最后重新理解了“人工智能”这个信息（后验概率）
如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；
如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；
如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。
还是刚才的例子，根据女神经常冲你笑这个新的信息，我调查走访了女神的闺蜜，最后发现女神平日比较高冷，很少对人笑，也就是对你有好感的可能性比较大（可能性函数>1）。所以我估计出"可能性函数"P(B|A)/P(B)=1.5（具体如何估计，省去1万字，后面会有更详细科学的例子）
3）后验概率
P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。这个例子里就是在女神冲你笑后，对女神喜欢你的概率重新预测。
带入贝叶斯公式计算出P(A|B)=P(A) P(B|A)/P(B)=50% 1.5=75%
因此，女神经常冲你笑，喜欢上你的概率是75%。这说明，女神经常冲你笑这个新信息的推断能力很强，将50%的"先验概率"一下子提高到了75%的"后验概率"。
在得到概率值后，小鹿自信满满的发了的表白，稍后，果然收到了女神的回复。预测成功。
现在我们再看一遍贝叶斯公式，你现在就能明白这个公式背后的关键思想了：
我们先根据以往的经验预估一个"先验概率"P(A)，然后加入新的信息（实验结果B），这样有了新的信息后，我们对事件A的预测就更加准确。
因此，贝叶斯定理可以理解成下面的式子：
后验概率（新信息出现后的A概率）　＝　先验概率（A概率） ｘ 可能性函数（新信息带来的调整）
贝叶斯定理关于随机事件A和B的条件概率的一则定理(条件概率还记得不？P(A|B),读作B的条件下A的概率）。
由此，我们便感受到了贝叶斯定理的神奇之处，还等什么，赶快去把贝叶斯定理应用起来呀！